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初等函数通常是对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的一种统称。可是，指数法则和对数法则是一对正逆算子，即exp(ln)=1。于是，幂函数方程式就能表达为一种指数函数方程式。
比如，幂函数方程式：
y=a·x^n + b·x^(n-1) + … + p·x^2 + q·x + r
就可表示为指数函数方程式：
y=a·exp(n·lnx)+b·exp((n-1)·lnx)+…+p·exp(2·lnx)+q·exp(lnx)+r
式中，要么n>1；要么n<1。
这就是意味着，幂函数其实是指数函数的一种特例而已。
指数函数一般被划分为两大大类；
1.任意指数函数：y=a^x
2.定常指数函数：比如，自然指数函数：y=e^x，常用指数函数：y=10^x，2指数函数：y=2^x。
2指数函数：y=2^x的最早应用，就是声学中的“乐音学”的12平均律。即y =2^(x/12)，其中，x ∈Z。Z 为整数集合。其后，就是马赫所创立的实验心理学的“感觉的分析”，人对声响的心理感受程度的定量表达。第三就是从第二发展而来的声学中的“噪音学”的声强等级的分贝定量表达。第四，就是香农创立的信息学也是用该方程式来度量。
学 生们在中学和大学各种教材中所遇到的那种常见的初等“三角函数”和“反三角函数”，都是属于一种“自然三角函数”和“自然反三角函数”，它们被广泛应用于 自然科学诸多分支学科之中。然而，数学家却始终没有能够发展出一种适合数学自身属性的一种“任意三角函数”和“任意反三角函数”。
相比之下，对于指数函数和对数函数而言，数学家早就发展出了任意指数函数y=a^X和任意对数函数y=logax。
我们以大家耳熟能详的椭圆三角函数之一的正弦函数y=sin(x)为例。这是一种基数等于自然常数e=2.718281828…的一种椭圆正弦函数。因此，我们将这种椭圆正弦函数称呼为“自然椭圆正弦函数”，这是因为它是以自然常数e为基数的一种椭圆正弦函数。即它是凯雷-克莱因几何学中的黎曼几何学，欧几里德几何学，罗巴切夫斯基几何学中的三角正弦函数。
对于，声学中的乐音学和噪音学，心理学中的实验心理学，计算机学中的信息学，我们可以选中2当下标，来作为以上这些学科中三角正弦函数的基数，并表示为：y=SiN2(x)。
声学、实验心理学，信息学中2为基数的三角正弦函数的无穷展开式：
SiN2(x)=x·ln2-(x·ln2)^3/3!+(x·ln2)^5/5!-(x·ln2)^7/7!+…
声学、实验心理学，信息学将因此增加新的篇章。
振幅不变，任意三角正弦函数SiNa(x)值的增大或者减小(a≠1，且a∈R。R为实数集)。
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SiN0.12(x)=x·ln0.12-(x·ln0.12)^3/3!+(x·ln0.12)^5/5!-(x·ln0.12)^7/7!+…
SiNγ(x)=x·lnγ-(x·lnγ)^3/3!+(x·lnγ)^5/5!-(x·lnγ)^7/7!+…(欧拉常数γ=0.577…)
SiN0.794(x)=x·ln0.794-(x·ln0.794)^3/3!+(x·ln0.794)^5/5!-(x·ln0.794)^7/7!+…
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SiN2(x)=x·ln2-(x·ln2)^3/3!+(x·ln2)^5/5!-(x·ln2)^7/7!+…
SiN2.23(x)=x·ln2.23-(x·ln2.23)^3/3!+(x·ln2.23)^5/5!-(x·ln2.23)^7/7!+…
SiNe(x)=Sin(x)=x·lne-(x·lne)^3/3!+(x·lne)^5/5!-(x·lne)^7/7!+…
SiN3(x)=x·ln3-(x·ln3)^3/3!+(x·ln3)^5/5!-(x·ln3)^7/7!+…
SiNπ(x)=x·lnπ-(x·lnπ)^3/3!+(x·lnπ)^5/5!-(x·lnπ)^7/7!+…(圆周率π=3.1415926…)
SiN251(x)=x·ln251-(x·ln251)^3/3!+(x·ln251)^5/5!-(x·ln251)^7/7!+…
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由此可知，中外人人耳熟能详的这种“特殊的”自然三角正弦函数SiNe(x)=Sin(x)，其实不过是那种超越当今时代、领先全球“普遍的”无限多种的任意三角正弦函数SiNa(x)的一个特例而已！
对于任意三角正弦函数SiNa(x)，其中，a≠1，且a∈R。从以上的例举可知，它必须要被分做两大类：
1.a＜1，且a∈R的任意三角正弦函数SiNa(x)。
2.a＞1，且a∈R的任意三角正弦函数SiNa(x)。
这 就是我们对三角正弦函数所作出的举世无双的、前所未有的、无穷多种类型扩张的实际例子。从而，意味着我们也把整个初等函数系统做出了举世无双的、前所未有 的扩张。同时也意味着，现有的黎曼几何学，欧几里德几何学，罗巴切夫斯基几何学，伽利略几何学，闵科夫斯基几何学，……。它们都是黎曼自然几何学，欧几里 德自然几何学，罗巴切夫斯基自然几何学，伽利略自然几何学，闵科夫斯基自然几何学，……。如今它们从原先只有一种的几何学，个个都演变为具有无限多种不同 的任意几何学了。即无限多种不同的黎曼任意几何学，无限多种不同的欧几里德任意几何学，无限多种不同的罗巴切夫斯基任意几何学，无限多种不同的伽利略任意 几何学，无限多种不同的闵科夫斯基任意几何学，……。这就是我们所做出的超越历史、超越当今时代、领先全球所有国家的伟大数学发现和伟大数学创造！
然而，有些时候，声学中的乐音学和噪音学，心理学中的实验心理学，有时会选中10当下标，来作为以上这些学科中三角正弦函数的基数，对此可表示为：y=SiN10(x)。
当然，是大自然选中了自然常数e，将它作为三角正弦函数y=sin(x)的基数。可是，作为数学而言，我们可以任意选中任何一个数a当下标，来作为三角正弦函数的基数，并表示为y=SiNa(x)。这样我们就得到了非常重要的“任意三角椭圆正弦函数”，可以简称为“任意三角正弦函数”。
于是，诸如“自然三角椭圆正弦函数”：y=SiNe(x)=sin(x)，2三角椭圆正弦函数：y=SiN2(x)，常用三角椭圆正弦函数：y=SiN10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角椭圆正弦函数，统统都是“任意三角椭圆正弦函数”y=SiNa(x)的个案或者特例。
类似地，诸如“自然三角抛物正弦函数”：y=SinGe(x)=sing(x)，2三角抛物正弦函数：y=SinG2(x)，常用三角抛物正弦函数：y=SinG10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角抛物正弦函数，统统都是“任意三角抛物正弦函数”y=SinGa(x)的个案或者特例。
类似地，诸如“自然三角双曲正弦函数”：y=SinHe(x)=sinh(x)，2三角双曲正弦函数：y=SinH2(x)，常用三角双曲正弦函数：y=SinH10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角双曲正弦函数，统统都是“任意三角双曲正弦函数”y=SinHa(x)的个案或者特例。
凯雷-克莱因几何学系统中“大统一的自然三角正弦函数”：y=Sinke(x)=sink(x)，大统一的2三角正弦函数：y=Sink2(x)，大统一的常用三角正弦函数：y=Sink10(x)，……，等无穷多种的定常基数的大统一的三角正弦函数，统统都是“大统一的任意三角正弦函数”y=Sinka(x)的个案或者特例。
由此可见，我们成功地扩张了原先的“自然三角正弦函数”：y=Sine(x)=sin(x)。类似地，对于其它所有类型的三角函数：椭圆类三角函数和反三角函数，抛物类三角函数和反三角函数，双曲类三角函数和反三角函数，都能做类似的成功扩张，让数学家不仅第一次清楚地认识到了凯雷-克莱因几何学系统中的椭圆，抛物，双曲三大类自然三角函数，都是一种以自然常数e为基数的一种函数，而且还使得数学家第一次清楚地认识到了椭圆，抛物，双曲三大类任意三角函数，都是一种以不等于从而，我们史无前例地把将先辈相对数学意义狭隘的“自然三角函数论”，刷新、升级为等级更高、涵盖更广的“任意三角函数论”了。继而，为当前人类数学这部宏伟巨著，增添了颇有价值的新篇章，给出了最一般的“36种任意三角函数”，它势必推动现有数学中诸多的分支学科，统统都将增加更宽泛的、更一般的新内容。
在这里，我们又做了一次重复历史的典型示范：即在数学和科学上的任何一种创新，它必须是一种立足于前辈坚实基础上的一种创新。
研 究自然科学，往往都是这么一不小心，在不经意中，非目的性地就为数学增添了新的贡献，这在数学和科学史上，屡见不鲜。这种对初等函数的刷新，虽然难度最 大。但是，它却能对数学诸多分支学科的影响极广。想要知道从原先那种极为特殊的“自然三角函数”扩张到这种极为普遍的“任意三角函数”的难度究竟有多么巨 大呢？从公元前2世纪古希腊喜帕恰斯研究这种“自然三角函数”到今天21世纪的“任意三角函数”，前后经历了大约2200年的漫长时间，没有一个数学家能 够完成这种从“特殊三角函数”到“普遍三角函数”的扩张！而数学本身则恰恰是一门专门研究“普遍模型”恢弘无比的伟大学科。
对科学和数学而言，任何一种对于等级最低的常识的刷新难度，历来都远远大于对高段的专业知识的刷新难度。比如，像时空观（即世界观或宇宙观）这种大众常识，当17世纪的牛顿时空观刷新了亚里士多德时空观，当时对欧洲人心的震撼有多么得巨大无比哦！同样，到了20世纪，当爱因斯坦相对论时空观刷新了牛顿的时空观，一下子使得全世界那些有大学理工类教养的人，心灵的震撼之大，之强，人人熟知哦！
这篇短文，其实可以刊登任何一个档次上的国内外著名的数学期刊，我们决定还是将它分享给本群网友。世俗的荣耀和名声，不过尔尔。
克莱因在19世纪后叶所开辟的这种大统一的、划时代的“凯雷-克莱因几何学系统”的所有几何连续变换群，牵涉到的都是相对最简单的那类“单线性的绝对连续射影变换群”，即使到了21世纪的今天，也同样如此。从来都不曾涉及到我们所谓的这种相对更为复杂的“多重线性的绝对连续射影变换群”。何况“单线性的绝对连续射影变换群”只有一大类；而“多重线性的绝对连续射影变换群”却有无穷多大类！20世纪美国最著名的数学史家莫里斯·克莱因说“希尔伯特在19世纪末终结了各国数学家研究几何绝对不变量的热情和浪潮”，只有数学历史事实上的真实性，却没有数学几何学理论上的任何真实性！菲力科斯·克莱因在19世 纪后叶所提出的以绝对不变的、单线性的“绝对连续变换群”划分不同几何学的惊世骇俗的“爱尓朗根纲领”（他当时在德国的爱尓朗根大学执教），很自然地强有 力地吸引了欧美几乎所有的数学家最热情、最热烈的积极响应，从而才掀起了这股势不可挡、形若滚滚洪流的“几何绝对不变量”的研究浪潮！而19世纪后叶全球所有的科学家，就像自动知趣地退出和放弃了对科学的话语权的18世纪的哲学家一样，他们并没有侧身到“几何绝对不变量”的研究浪潮中，而是甘心当一位几何学的外行的旁观者来围观。
外行看热闹的19世纪后叶科学家的不良历史行为，具有极其旺盛的“社会达尔文主义的遗传性”，使得20世纪的科学家依旧在错误地继承这种外行看热闹的心得体会。比如，荣膺物理学诺贝尔奖的库珀和英国知名度颇高的大数学家为主和大物理学家彭罗斯，都在他们各自的出版的著作里重复早就被克莱因在19始末就已经淘汰和埋葬的黎曼的错误的陈词滥调：即几何学只有三种：
1.三角形内角和大于180°的黎曼几何学
2.三角形内角和等于180°的欧几里德几何学
3.三角形内角和小于180°的罗巴切夫斯基几何学
孤陋寡闻还自以为是地、十二分愚蠢地竟然不懂得在克莱因所所开辟的这种大统一的、划时代的“凯雷-克莱因几何学系统”，假如仅以其中的“凯雷-克莱因二维几何学系统”（姑且不论“凯雷-克莱因三维几何学系统”，“凯雷-克莱因四维几何学系统”，……，“凯雷-克莱因N维几何学系统”，……，等等）为例，
1.三角形内角和大于180°的几何学至少有三种
2.三角形内角和等于180°的几何学至少有三种
3.三角形内角和小于180°的几何学至少有三种
而我们如今在全球第一个破天荒地又把前辈那种自然底数的36种“克莱因三角函数”（即“克莱因自然三角函数”）基础上，创造性地将它拓广为任意不等于1为底数的无穷多种“克莱因任意三角函数”。这就这就意味着，仅以其中的“凯雷-克莱因二维任意几何学系统”为例的话，
1.三角形内角和大于180°的任意几何学至少有无穷多种
2.三角形内角和等于180°的任意几何学至少有无穷多种
3.三角形内角和小于180°的任意几何学至少有无穷多种
可以当仁不让地说，在20-21世纪的今天的人类已有的几何世界中，全球决没有任何一位数学家和科学家能够比我们站得更高。这是因为我们第一个所发现和创造的这种任意不等于1为底数的无穷多种“克莱因任意三角函数”所直接缔造出来的、前所未有的这种大千几何世界，不仅其版图最广，而且其山峰也最高！
初等函数前所未有的扩张(2)——现代科学启蒙主义系列
初等函数前所未有的扩张(3)——现代科学启蒙主义系列初等函数前所未有的扩张(4)——“克莱因统一任意复数系”的创生
初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数上”
初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数下”
本文章中涉及到的极为重要的“36种特殊的自然底数e 的三角函数”和“36种普遍的任意底数a 的三角函数”请点击以下的链接：
Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2]
Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[1]
重新增补被新浪脑残删除的
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