物理学变换群论: 初等函数在全球史无前例的伟大扩张(3)—

人类的制造技术的历史是非常久远的。这也不是人类物种所特有的，因为任何一个多细胞动物都有各自最拿手的制造技术。比如，天上飞翔的物种，水里穿游的物种，地上爬行或者奔走的物种，个个都有极为精湛的筑巢技术。最早的半人半兽，即猿人因为会打制各种石器，甚至掌握了用火技术。但是，它们还不能被称作是人类，只能属于陆地二维曲面上的走兽类。这是一个极其漫长的历史，大约经历了180-300多万年的时间。类似于北京猿人能够制造简单工具，打造定居的山洞巢穴，还会用火等等。这些物质技术的发现和发明，丝毫不能改变北京猿人仍旧是兽类，而不是人类；仍旧是它们，而不是他们。直言之，全球各地所有旧石器早期和中期的猿人，尽管存在相同的时间轴上存在明显的技术高度的差异，它们一概都不能被称作人类。这表明动物和猿人为了生存发明各种复杂的“技术学”，是自然界的普遍现象，猿人的“技术学”并不代表任何人性，而是真实反映了动物皆有的“生存技术学”。然而，中外很多古人类学家、考古学家、历史学家、以及其他学科的学者，长期以来都错误地将这种猿人和所有动物共有的“技术学”看作是一种和“人性” 密不可分的一种“物证链”，完全无视猿人的这种“技术学”其实最多只不过是作为动物之一所必不可少的一种基本生存技术而已。令人遗憾的是，他们往往习惯夸张这种“生存技术学”，甚至把它们错误地夸大为这是“猿人”向“人”进化的一种最重要的证据链之一。

真实的情形是，只有女娲或夏娃发明了各自氏族语言的族群，创造出独有的宗教图腾的信仰文化，进入了“渔猎文明”之后，才能被称作为人类。同样，在整个“渔猎文明”时期，人类所发明的种种“技术学”，相当一部分仍旧是所有动物皆有的“生存技术学”的直接延伸。唯一显著不同的是各个氏族从各自宗教图腾的信仰文化所发展出的“宗教技术学”独树一帜，这种“宗教技术学”产生出来的各种“宗教物品”，诸如，图腾柱，法器，法螺，乩盘，傀儡，……，等等。这是所有动物所全然缺无的一种非“生存技术学”的发明，只有人类这个物种所独有。因此，这类“宗教技术学”才是标识人类特有的“人性”而区分于其它动物的“指示技术学”，即“人”之所以不同于“猿人”的根本所在！直言之，只有信仰“宗教”（即宗教技术学和宗教物品的统称）才是人兽不同的最重要标志，没有宗教信仰就没有人性。这就是女娲或夏娃所缔造的“渔猎文明”的唯一最重大的、最显赫的特点。因此，我们也可以把“渔猎文明”阶段，称作为“宗教文明”阶段，或者“神圣文明”阶段。由于“渔猎文明”是用“氏族语言精神符号系统”创造出来的一种伟大文明，故而我们也可以把这种“渔猎文明”阶段称作为“语言文明”阶段。由于任何一种 “氏族语言精神符号系统”都不具有全人类的“普遍性”和“广泛性”，仅仅只有氏族的“特殊性”和“狭隘性”，这就使得一种“氏族语言精神符号系统”所创造出来的“宗教文明”充满了氏族的个性，成为日后“民族性”的唯一最重要的来源。

由于全球各地的这种原生的“渔猎文明”并不是同步的，而是存在先进和后进之分（就如同今天一样，五大洲各国的进化发展水平非常参差不齐，呈现出三大类型：1.最落后的农业文明专制世界观为核心价值观的独裁暴政国家。2.次落后次先进的科学文明大陆法系世界观为核心价值观的民主国家。3.最发达的信息文明真实和虚拟双重英美法系世界观为核心价值观的三权分立的民主国家）。因此，我们说“渔猎文明”距今大约是10-35万年。最早的“渔猎文明”发生于旧石器晚期，全球各地的不同步的人类族群的统一名称是“尼安德特人”。此后，不再将这些原始族群称作“猿人”了。

全球人文学科最爱采纳的那种“实物工具断代论”，是我们有意所摒弃的！这是因为“制造技术阶段论”，并不是人类物种特有的历史现象，而是所有动物的共有的一种历史现象。我们采取的“精神文化断代论”，是各个人类族群特有的历史现象，从来都不是所有动物所共有的一种历史现象。具有“特殊性”和“狭隘性”的“氏族离散定常口头语言符号体系”的发明，才能打造出这种氏族独有的宗教图腾的信仰文化的“渔猎文明”。具有 “特殊性”和“狭隘性”的“国家离散定常文字符号体系”的发明，才能打造出古代专制国家皇室独裁文化的“农业文明”。类似地，非定常性质的且具有“普遍性”和“广泛性”的“毕达哥拉斯离散几何代数符号体系”和“欧多克斯连续几何代数符号体系的发明”，才能打造出人类历史上第一个理性民主公民文化的古希腊 “科学文明”。非定常性质的且具有“普遍性”和“广泛性”的“计算机赋值变量的语言文字符号体系”的发明，才能打造出人类历史上第一个数字化的真实和虚拟双文化的美国“信息文明”。

从大清帝国开始，无数的中国人民和中国学者，历来都喜欢极其错误地把“技术学”和“科学”强行地紧紧捆绑在一起，相提并论。对全球谎称处于农业文明阶段的古代中国，也有所谓的“科学技术学”云云。故意无视“技术学”远在处于野兽阶段的猿人就已经形成的事实。在整个旧石器早期和中期，不要说什么连“科学文明”都不存在，甚至连“渔猎文明”还都不曾出现！虽然这个漫长的还没有“人的文明”（即对“渔猎文明”、“农业文明”、“科学文明”、“信息文明”、……、各种“未来文明”的统一称谓）出现，但是，已经有了生存目的的各种“技术学”了。即使是最原始的“科学”，也决不会出现在任何一个已知的“渔猎文明”的氏族社会形态中，或者任何一个已知的“农业文明”的国家形态中。这些都是已知的世界历史。只有发明了赋值变量性质的“毕达哥拉斯离散几何代数符号体系”和“欧多克斯连续几何代数符号体系的发明”，才能创造出“科学”。古代埃及，古代巴比伦，古代印度，古代中国，……，历史上任何一个已知的“农业文明”的国家，统统都没有起码的智力和才能来创造出任何“科学”！这种用赋值变量表述的“科学”，乃是发现“自然规律”，以及旗下的“人文子规律”，以及范畴更小的“思维子规律”的唯一工具，也是任何一个已知的“农业文明”的国家统统都缺无的伟大工具！亚里士多德把人类全部的文理学科全都划分在大统一的“科学”的旗下，只有在“科学文明”中才是必然的历史结果。

什么是科学基本方法论呢？这是科学文明创造出来的一种几何理性代数思维方法。这是世界各地所有古代农业文明国家所没有的。这就是用毕达哥拉斯离散几何代数符号体系和欧多克斯连续几何代数符号体系来认识三大不同范畴的自然世界、人类世界、精神世界。古希腊文化如此光辉璀璨，之所以能够轻而易举地使得同时代全球所有古代文明的历史累积的总和相形见拙，不值一提。就是因为它站在了当时最高的历史台阶上——即“古代科学文明”的台阶上。比如，亚里士多德的“形式逻辑学”就是对人类“精神世界”中各种形式不同的“思维规律”的高度总结和概括。也是对直接忠实继承古希腊 “农业文明”的普罗泰戈拉的“矛盾逻辑学”的终极毁灭。类似地，欧多克斯缔造的那种肉眼永远都不可观测到的“暗天球”远多于肉眼可观测到的“真实天球”的 “球面天文学”，就是对“自然世界”中七大运动天体（即相对地球距离远近而依次排列的月亮，水星，金星，太阳，火星，木星，土星的统称）各种不同的“运行规律”的高度量化总结和高度量化概括。

“矛盾逻辑学”并非古希腊“农业文明”独有，事实上，这种“矛盾逻辑学”是古代埃及，古代巴比伦，古代印度，古代中国，……，任何一个已知的“农业文明” 国家所独立共有的、且深入人心的一种学问。而这种“矛盾逻辑学”的思想源泉，甚至可以追溯到更加古远的、分布在世界各地的氏族的“渔猎文明”时期。“科学文明”中的亚里士多德“形式逻辑学”是“无矛盾逻辑学”的同义词，它与“渔猎文明”和“农业文明”的“矛盾逻辑学”尖锐对立，水火不容！看看古印度的“奥义书”，古中国的“易经”、老子的“道德经”、“黄帝内经”，古希腊赫拉克利特的“论自然”，恩贝多克利的“四元素说”，希波克拉底的“四体液说 ”，……，等等，就能轻而易举地发现全都是在宣扬“渔猎文明”和“农业文明”的“矛盾逻辑学”。“科学文明”之所以能在古希腊生存和高速发展一段时间，得益于柏拉图为首的无矛盾逻辑学派在雅典成功击溃和击败了普罗泰戈拉为首的、政府力挺的、市民拥戴的、传统顽固的矛盾逻辑学派，并把他们的所有著作公开焚毁掉！然而，这个胜利是暂时的，当出身名门望族的柏拉图辞世之后，他的得意门生亚里士多德很快就横遭复辟派的疯狂追杀而不得不投海自尽。当“农业文明”的古罗马的农民大军铲平了古希腊的“科学文明”的时候，以罗马农夫士兵杀死阿基米德为标志，这种全人类历史上第一个“科学文明”之火，就此被彻底熄灭了！在这个地球上，从古到今，这种“农业文明”和“科学文明”之间的生死较量，在各国从来都未曾停止过。

古希腊科学文明所创造出来的这种“几何理性代数思维方法”是最重要的基本科学方法论。而喜帕洽斯将它做了伟大的扩展，第一个在几何学中引进球面座标经纬度网。他把横座标规定为经度；把纵座标规定为纬度。球面经纬度座标的引进，自然就导致了三角函数的产生。因此，喜帕洽斯又是发现和缔造三角函数【即椭圆三角函数】的第一人。阿基米德的发现的连续性的“几何指数函数”和喜帕洽斯发现的“几何三角函数”都是“超越函数”的子函数，它们要比欧多克斯的连续性的“几何代数函数”要艰深很多。由于“超越函数”在当时的机械工程技术上有着极其广泛的应用。因此，古希腊人把这类“超越函数”喜欢称作为“机械函数”。即使在今天，“超越函数”依旧在理工科和财经科有着最为广泛的应用。

喜帕洽斯在科学基本方法论上率先于一个球面上引进（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系，是一个伟大的创举。当然，当我们站在“20世纪现代几何学”的历史高度上严格考察喜帕洽斯的在球面上所建立的这种（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系的时候，发现存在诸多严重的明显错误。

对于任何一个有固定半径的确定球面，任何一个经度和纬度网络无法完全覆盖这个确定球面。虽然20-21世纪的全球各国的地球的地图和夜空的星图，继续忠实地沿袭了喜帕洽斯的在球面上所建立的这种（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系来标识球面上的任何一个点的位置。比如，大地测量学，宇宙测量学，天气学（地球天气学，行星天气学），气候学（地球气候学，行星气候学），地球水文学（陆表水文学，地下水文学【即水文地质学】，海洋学），土壤学，地质学，生态学，植物学，动物学，微生物学，区域经济学（世界经济学，某某国经济学），交通学（陆路交通学，内陆水上交通学，海洋交通学，航空交通学，星际交通学），……，等等众多自然和人文学科，一概都继承了古希腊人的这种错误做法，科学却并不会因此而“法不治众”，屈从大多数，顺从和认可这种错误传统的正当性和现实性。

“20世纪现代几何学”已经确认对于任何一个有固定半径的这种简单球面，至少引入两个或者两个以上的经度和纬度网络，才能完全覆盖这个确定的球面。可是，“20世纪现代几何学”上的这个简单的定理，除了职业几何数学家知道之外，无以数计的非职业数学家的中外学者鲜有所知！对于任何一个有固定半径的这种简单球面，假如像喜帕洽斯一样仅仅使用一个经度和纬度网络去覆盖这个确定的球面，出现的错误就是凭空捏造了两个子虚乌有人造的“奇点”（即北极点和南极点）。

黎曼则把这个确定的球面在抛物曲面上的一叶进行“单球极影射”，即把这个球面影射在一个欧几里德平面上。这是各国数学家和科学家长期以来颇为习惯接受的 “黎曼复变函数流形几何学”的流行做法。貌似任何一个有固定半径的这种简单球面都可以和抛物曲面上的一叶，即一个欧几里德平面之间建立一一对应的关系。然而，这种颇为流行的黎曼做法，导致的一个最简单的错误后果就是，一个原本只有有限表面积的球面，竟然摇身一变，化作为具有无限大表面积的欧几里德平面！这种“有限表面积=无限大表面积”的几何错误，就是在于人心偏要执着顽固地硬要在一个有固定半径的这种简单球面只建立一个二维座标系。喜帕洽斯的错误做法和黎曼的错误做法，都是因为违背了“20世纪现代几何学”上述定论（即所谓的定理），才会出现上述的严重几何错误！“撒什么种子开什么花”，“龙生龙，凤生凤，老鼠的儿子天生会打洞”。直言之，错误原因必然导致错误结果。

“20世纪现代几何学”上的“座标图册定理”已经证实对于任何一个有固定半径的这种简单球面，至少引入两个或者两个以上的经度和纬度网络，才能完全覆盖这个确定的球面。任何只有一个座标系的“凯雷-克莱因系统几何学”必须要在一个半曲面（即单叶曲面）上展开。例如，“黎曼几何学”必须在一个单叶的半球面上才能展开，决不能在等双叶性质的整个球面上展开。类似地，“欧几里德几何学”必须在一个单叶的半球-半抛物平面上才能展开，决不能在等双叶性质的整个半球-半抛物双平面上展开。同样，“罗巴切夫斯基几何学”必须在一个单叶的半球-半双曲面上才能展开，决不能在整个等双叶半球面-半双曲面上展开。而“伴欧几里德几何学”必须在一个单叶的对偶半抛物-半球面上才能展开，决不能在对偶等双叶性质的整个半抛物-半球面上展开。……，诸如此类，“闵科夫斯基几何学”必须在一个单叶的半双曲-半抛物面上才能展开，决不能在整个等双叶半双曲-半抛物面上展开。务必要永远牢记几何座标图册定理：任何只有一个座标系的“凯雷-克莱因系统几何学”，只能在一个单叶曲面上展开。

喜帕洽斯本人并不清楚他所引进的这种（经度，纬度）座标网格，即经纬度座标参照系的座标（λ，φ）本身的含义其实是一种超越函数，是所谓的（超越抛物正弦函数经度，超越抛物正弦函数纬度）构成的二维球面座标系。到了17世纪的欧洲，笛卡尔、费马等人重新发现了这种类似的、更加简单的（抛物超越函数，抛物超越函数）所构成的二维抛物平面直角座标系（x，y）。描述这种固定抽象的变量性质的静态图形的几何学的座标为啥要选择这种（抛物超越函数，抛物超越函数）呢？任何一个不懂“凯雷-克莱因系统几何学”的人，都会错误地认为笛卡尔二维抛物平面直角座标系的（横座标，纵座标），即（x，y）中的变量不是这种（抛物超越函数，抛物超越函数），而是普通的代数函数；他们也不懂得像“桌面”这类平面，其实统统都是“双叶二维抛物平行面”中的一叶而已。实际上，笛卡尔二维抛物平面直角座标（x，y）的完整写法为（singx，singy），是地地道道、名副其实的（抛物超越函数，抛物超越函数），决不是什么普通的代数函数。为啥要选择（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（singx，singy）来充当笛卡尔二维抛物平面直角座标的座标，而不是选择（超越抛物余弦函数，超越抛物余弦函数）（cosgx，cosgy）作为其座标呢？都有极其深刻的几何学理由的。

我们知道中外大学和中学的数学教材中，常常把（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（x，y）表述为：

x=rcosθ

y=rsinθ

即（x，y）=（rcosθ，rsinθ）

常常把（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（x，y，z）表述为：

x=rcosα

y=rcosβ

z=rcosγ

即（x，y，z）=（rcosα，rcosβ，rcosγ）

我们不得不指出这是一种不正确的、无法体现抛物座标系空间几何属性的一种座标表示方法。而且也无法被推广到四维抛物空间和高于四维抛物空间的座标表示法。必须要清楚地知道“二维欧几里德平面正交座标系”中的座标（x，y）和“三维欧几里德空间正交座标系”中的座标（x，y，z）的正确几何名称是（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）和（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）。直言之，“二维欧几里德平面”几何名称是“单叶抛物平面”或“半抛物平面”；“三维欧几里德空间”几何名称是“单叶抛物平直空间”或“半抛物平直空间”。只有透彻地懂得“二维欧几里德平面”和“三维欧几里德空间”二者的确切的几何名称，才能初步认识和理解“二维欧几里德平面正交座标”（x，y）和“三维欧几里德空间正交座标”座标（x，y，z）为啥都不是普通的一次线性的代数函数，而是超越抛物正弦函数性质的（singx，singy）和（singx，singy，singz）。

在黎曼复变函数几何学中，数学家把“z=x+iy”这种表达式，称作为复变矢量的“代数式”；而把“z=r（cosθ+isinθ）”称作为复变矢量的“三角式”；而把“z=rexp（iθ）”称作为复变矢量的“指数式”。这是最为典型的“望文生义”的、不理解几何含义的、掩盖无知的、纯粹形式化的名称。

（x，y）=（singx，singy）和（x，y，z）=（singx，singy，singz）的这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法，只能适用于长度为抛物测度的几何学。换言之，只能适用于以下的几种几何学：欧几里德几何学，伽利略几何学，对偶伽利略几何学，闵科夫斯基几何学。也就是说，诸如（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法，决不能被任意推广到任何一种非抛物长度测度的几何学中。直言之，绝大部分的静态几何学中的图形，统统都能不能选用（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法来定量绘制。

在所有种类的椭圆长度测度的几何学中，都是诸如（sinx，siny），（singx，singy，singz），……，（sinx，siny，sinz，…，）这种超越椭圆正弦函数性质的座标。比如，黎曼几何学，对偶黎曼几何学，对偶欧几里德几何学，对偶罗巴切夫斯基几何学等等。

类似地，在所有种类的双曲长度测度的几何学中，都是诸如（sinhx，sinhy），（sinhx，sinhy，sinhz），……，（sinhx，sinhy，sinhz，…，）这种超越双曲正弦函数性质的座标。比如，罗巴切夫斯基几何学，对偶闵科夫斯基几何学，二重双曲几何学，对偶二重双曲几何学等等。

总结上述可知，在“凯雷-克莱因系统几何学”中，任何一种定量描述静态几何形的函数座标系，绝没有任何一个是“代数函数有序组构成的座标系”；统统都是清一色的“超越函数有序组构成的座标系”！即诸如（sinkx，sinky），（sinkx，sinky，sinkz），……，（sinkx，sinky，sinkz，…，）这种“克莱因超越正弦函数”性质的座标。显而易见，这些大统一的“凯雷-克莱因系统几何学”中才会有常识，乃是极少数从事经典大统一几何学研究的职业数学家才能懂得的一种常识。除此而外的所有学者和人民，对于这一类几何常识则是闻所未闻的天方夜谭哦。

我们当然深知，中外大学和中学的数学教材中，所传授的“静态几何学”知识，全是诸如（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种清一色的“超越抛物正弦函数有序组所构成的座标”。害得一代代的理工类和财经类的师生，都错误地认为这貌似就是所有几何学都需要采用的“普遍的座标表达形式”，而压根不知道它们其实是非常特殊的一类座标表达形式而已。

我们不是成功地推广了“初等三角函数”吗？正是这种最伟大的推广，才能使得我们认清楚“克莱因超越三角函数”（克莱因超越正弦函数sinkx，克莱因超越余弦函数coskx，……。）不过是一种以定常超越数，即自然底数e=2.718281828…，的一类三角函数而已。相对标准形式的以e为自然底数的“克莱因超越三角函数”[克莱因超越正弦函数SinKe(x)=sinkx，克莱因超越余弦函数CosKe(x)=coskx，……。]，“无穷多种的非克莱因超越三角函数”，即“任意超越三角函数”的标准表达式，则为以不等于1的任意实数a为底的“任意超越正弦函数SinKa(x)”，“任意超越余弦函数CosKa(x)”，……。

当我们把前人的自然底数e的“自然三角函数”推广为以不等于1的任意实数a为底的“任意三角函数”，就意味着我们能够把前人的局域大统一的一种“凯雷-克莱因系统几何学”，推广为全域大统一的无穷多种的“任意系统几何学”。这就意味着我们能够把自然界中任意一个无穷类的静态几何形，都能彻底定性定量描述了！当然我们还能把这种“任意静态系统几何学”刷新提升等级，给出更加艰深无比的“任意动态系统几何学”，即所谓的“任意流形系统几何学”。自然界中几何形和几何学是无限复杂的，绝大部分都不是那种以自然底数e的“自然三角函数座标”所描述的“自然静态几何形”和“自然三角泛函座标”所描述的“自然动态几何形”，而是无穷类的以不等于1的任意实数a为底的“任意三角函数座标”所描述的“任意静态几何形”和“任意三角泛函座标”所描述的“任意动态几何形”。换言之，我们已经为科学文明和信息文明无数未来的数学家和科学家，提前锻造好了最强大无比的“任意静态系统几何学”和“任意流形系统几何学”。而这种伟大的推广，却在全球几何学历史上是前所未有的！