注意！ 我特别把未曾以任何形式发表过的东东展列于此，希望所有转载的诸位同仁务必注明出处为荷。
目录
概论
一、 伽利略匀速切变变换
二、 伽利略加速平移-匀速切变变换群
三、 统一事件的匀速点运动变换群
四、 伽利略时空微分变换群
五、 微分事件几何抽象变换群——物理学的大统一变换群
六、 参阅
在伽利略整体几何学中，至少必须被分成两种不同的几何学：即伽利略匀速运动几何学和伽利略加速运动几何学。换言之，伽利略时空变换必须要被分作两个不同类型的变换群。一个是质点在作匀速运动时的“伽利略匀速切变变换群”；一个是质点在作匀加速运动时的“伽利略加速平移-匀速切变变换群”。分别代表着两个不同类型的伽利略几何学，而后者远比前者的内容丰富。而且更为重要是，伽利略匀速切变变换从来也不是牛顿力学研究的对象，唯有伽利略加速平移-匀速切变才是整个牛顿力学的研究核心。
克莱因的原始的埃尔朗根始纲领尤为重要，正像人们所熟知的那样，它还不能包括历史上所有的几何学在内。比如，现在被人们所耳熟能详的“黎曼几何”。有识之士早就英明地指出，假如把克莱因的埃尔朗根的原始纲领加以泛化，引进联络这个基础概念的话，那么类似象“黎曼几何”等其他重要的很多类型的几何，就都能够被统统收编在克莱因几何的统一大旗的麾下了。
伽利略变换群的种类庞大，它本身又是自对偶的几何学，所以它在纯粹数学的克莱因81种事件几何体系中，它是唯一最为简单的时空几何学。然而，物理学的几何要比数学几何更复杂多样，因为按照物理学的观点分类，四维时空的几何学种类的数量就会增加好几倍之多，即至少就有324种两两都各不相同的时空几何学！
在这数百种之多的物理事件几何学中，爱因斯坦相对论力学就是“闵科夫斯基匀速点运动几何学”；牛顿力学和哈密顿力学都是“伽利略加速点运动几何学”的力学系统；拉格朗日力学就是平凡的“伽利略加速直线运动几何学”中的一种力学而已。
有趣的是，“闵科夫斯基匀速点运动几何学”和“伽利略匀速点运动几何学”可以被“广义复数的统一事件匀速运动几何学”优美地统一表述，无需区分开了。
经过种种考量，我们仅仅在这324种两两都各不相同的时空几何学中，之所以选择性地挑出了三种的时空几何学作为例子，“闵科夫斯基匀速点运动几何学”，“伽利略加速点运动几何学”“伽利略加速直线运动几何学”，是因为知道大家对它们这三种几何学所对应的物理学很熟悉。虽然目前这324种事件几何学尚没有来得及逐一仔细研究。但是对于这三种之外的事件几何学，还有其他几种都是有极其重要的物理应用的，鉴于物理学专业的学生、教授和专家都很陌生，就不再多作介绍了，这是需要专著来完成的。由于几乎100%都是原创，也就没有什么特别的参考文献分享给诸位了。
如果读者没有系统的各种几何学的整体知识系统，很难理解上面的这些术语所实际蕴含的几何内涵的。既是如此，我们也不得不指出，不是对六、七种，而是至少对十几种、或者几十种物理学线性几何学和非线性几何学的精通，才会真正理解上述所言。
还有一种伽利略匀速直线几何学它和经典电动力学（包括其中的光学、电学和磁学）有一种相似性的联系。它最有价值的物理意义就是可以引导我们创建还不曾有的一种的适应于经典电动力学新的匀速直线几何学，从而刷新和极大丰富现有的经典电动力学。
伽利略几何学是极其庞大的几何学系统，在此，只好挂一漏万地简介两种几何学。即伽利略匀速运动几何学和伽利略加速运动几何学。
一、 伽利略匀速切变变换
伽利略匀速运动几何学
从克莱因统一几何学的埃尔朗根纲领（有人写成爱尔兰纲领），我们知道伽利略匀速运动几何学是由伽利略匀速切变变换来确定的，它构成了整个质点匀速运动学的全部理论的核心。匀速运动学虽然不是古典牛顿力学讨论和研究的重点，只是作为一个无足轻重的起点性概念而引入的，但是，匀速运动学不仅是光学，电学，磁学的基础，而且也是把前三者相统一的麦克斯韦的电动力学方程组和洛伦兹电磁力方程所构成的
经典电动力学的基础。光子永远是作匀速运动——成为了爱因斯坦“光速不变公设”的基础。而任何带电粒子，或带电物体，甚者带电的星球的外层大气，做匀速运动（只要不是接近无穷大的速度的前提下）的时候都将产生磁场，构成了磁学研究的对象。所以，匀速运动学是很重要的。只是伽利略匀速运动几何学不是它们所需要的几何学——它们需要的是闵科夫斯基匀速运动几何学，即由所谓的“洛仑兹变换”所确立的匀速运动几何学。当然，这是人类进入20世纪以后才逐步认识到的。
如果,初始两个事件参照系S'和S的原点重合，且S' 在x 方向以v 的速度相对于S 运动，那末，对于任何一个做匀速运动的质点P而言，同一事件在两个参考系S' 与 S 内的时空坐标关系乃如下：
这一套公式定义了称为伽利略匀速切变变换的群变换。在狭义相对论的极限状况，当相对速度 极小于光速时，可以从洛伦兹变换重新得到这一变换。
上述给出的是“质点做匀速运动的时候的伽利略变换”——这并不是牛顿力学的研究对象，而且它不是“质点做加速运动的时候的伽利略变换”。然而，我们给出的则是更重要的伽利略加速平移-匀速切变群关系——即整个牛顿力学的核心。相对质点所在的参照系，对于经典电动力学而言，质点是相对静止呢？还是作相对匀速运动呢？二者决不是等价的、对称的。但是，对牛顿机械力学而言，质点是相对静止呢？还是作相对运动呢？二者是完全等价的、对称的。所以，伽利略匀速切变变换群在牛顿力学那里无足轻重，这不是它所关心的。相反，
只有伽利略加速平移-匀速切变群关系——成为了整个牛顿力学的研究中心，据此就可以构造出全部牛顿力学的庞大体系！
二、 伽利略加速平移-匀速切变变换群
伽利略加速运动几何学
伽利略加速运动几何学是一个激动人心的自然那几何学，牛顿创建经典力学之后，曾经为此兴奋不已，认为上帝是一个几何学家。在那个时期还是沉浸在“古希腊复活”的思想光环的重重笼罩之中——这是一个几何被看成是高于代数的年代。所以，牛顿的“自然哲学的数学原理”也是刻意模仿“欧几里德几何”的“公理-公设-定理-命题”的范式来书写的。牛顿的这个伟大的综合——经典力学的核心就是建筑在伽利略加速运动几何学这个基础之上的。而伽利略加速运动几何学则是由以下的伽利略加速平移-匀速切变群所严格确立。
若事件参照系 S' 沿着，X轴方向以速度v相对于事件参照系 S 运动，且时两事件参照系的原点重合，
质点在 S' 中作匀加速运动时,其加速度为a，则两时空参照系之间有如下“伽利略切变-平移变换”关系:
这种质点做加速运动的时候的“伽利略加速平移-匀速切变变换群”和质点做匀速运动的时候的“伽利略匀速切变变换群”有本质上的很大不同，前者除了有一个因参照系的相对运动v而带来的“时空的匀速切变变换”之外，又多了一个因质点的加速运动而带来的“时空的匀加速平移变换”。
也就是说，质点做加速运动的时候的变换群是由两个子变换群所构成：
1、一个是“时空的匀加速平移变换”：
2、一个是“时空的匀速切变变换”：
从群论的观点看，爱因斯坦的狭义相对论的洛伦兹事件变换群，它在本质上是质点做匀速运动的时候的闵科夫斯基空间里的洛伦兹变换群——这是爱因斯坦全部狭义相对论的核心。
伽利略变换群需要根据质点的匀速和加速运动的不同，必须严格分成“伽利略匀速切变变换群”和“伽利略加速平移-匀速切变变换群”；而且前者仅仅是后者的子群。然而，后者才是全部牛顿力学的核心。换言之，我们依据“伽利略加速平移-匀速切变变换群”，就可以重建出整个牛顿力学！
然而，和爱因斯坦的狭义相对论的洛伦兹事件变换群“1-1对应”的，则是“伽利略匀速切变变换群”，决不是“伽利略加速平移-匀速切变变换群”。所以，爱因斯坦狭义相对论的核心和牛顿力学的核心决不是“1-1对应”的。很多人错误地把二者混淆，甚至混为一谈！即使在狭义相对论中，令光速无穷大，也不能从“洛伦兹事件变换群”得到“伽利略加速平移-匀速切变变换群”，仅仅至多可以得到“伽利略事件匀速切变变换群”而已。
三、 统一事件的匀速点运动变换群
有趣的是，“闵科夫斯基匀速点运动几何学”和“伽利略匀速点运动几何学”可以被“广义复数的统一事件匀速运动几何学”优美地统一表述，无需区分开了。
假如，要是站在统一几何学的高度看待各个特殊匀速变换群，怎样来约定哪种坐标为广义虚数就不是任意的了。处于物理学的天然的自身要求，这时，只能令空间坐标为广义虚数；时间坐标为实数：
那么统一匀速时空变换群可以写成如下的矩阵形式：
其中 ，
，称为广义三角函数因子。
1、当广义复数等于对偶数的时候，从上述统一匀速变换群可得“洛伦兹匀速变换群”。
2、当广义复数等于二重数的时候，从上述统一匀速变换群可得则是“伽利略匀速切变变换群”。
二者之所以能够可以被统一起来，是因为“洛伦兹匀速变换群”和“伽利略匀速切变变换群”是“1-1对应”的。
四、 伽利略时空微分变换群
不论“伽利略匀速切变变换群”，还是“伽利略加速平移-匀速切变变换群”，在事件空间的微分结构上两参照系描述同一运动的速度是不同的。 即在两事件的微分参照系中描述同一运动的加速度是相等的。
一切事件空间的局部微分惯性系都是等价的,我们可以任取最为简洁的微分时空参照系进行计算。
局域上的伽利略时空微分变换群为：
微分变换群是事件空间的局部微分惯性系的变换，它可以深化我们的许多观念。可以让我们把“标准点模型”和“标准场模型”十分密切地联系在一起。
并不是所有物理问题都选择线性坐标系是最直接、最简单的。事实上，很多时候我们不得不选择非线性坐标系来表述一个线性问题，才能使得该问题获得解决。一旦选择了非线性坐标系来重新阐述同一个线性问题的时候，引入微分变换群是必不
可少的技术手段！
在事件空间中，我们不局限于伽利略时空空间，也不局限于闵科夫斯基时空空间，甚至其他任何特殊的时空空间。我们在一个抽象的事件空间里讨论“标准点模型”和“标准场模型”的关系，而伽利略的、或闵科夫斯基的、==任何其他具体时空，都是这种抽象事件空间的特例而已。抽象事件空间可以表述克莱因的81种标准事件几何学和物理学至少的324种物理事件几何学的统一特征，使得我们可以大大加快认识这些种类数量庞大的事件几何学的进程。
在这种一般的抽象事件空间中，引入局部微分惯性系的变换是最可取的集约方案。
一个事件点模型在一对不同参照系的整体事件几何抽象变换群总可以被表述成如下的事件场模型形式：
这种抽象的事件点模型的事件场模型的表述形式是很重要的，与之相可逆的不同参照系的整体事件几何抽象变换群又可表示如下：
整体事件几何抽象变换群和微分事件几何抽象变换群的关系是非常微妙的。整体事件几何抽象变换群是整体抽象事件几何的核心，这是生成特殊的、具体的可实验证伪的几何学——即微分抽象事件几何所追求的终极目标。同一个微分抽象事件几何不同积分，将会形成一些列不同的整体抽象事件几何来。而微分抽象事件几何的积分条件则是由具体的物理的边界条件和初始条件来决定。因此，具体的物理的边界条件和初始条件尽管对于微分抽象事件几何没有什么意义，然而，它们对于整体抽象事件几何而言，至关重要！物理学不是无需实证的一个形而
上学的数学，它是一门务必要进行无数次实证来反复证伪的一个形而下学的学科。这就决定了至少对物理学来说，我们必须要从同一个微分抽象事件几何中总走出来，根据具体的物理的边界条件和初始条件确定的不同积分，生成一些列不同的整体抽象事件几何来。通常由于大学里的学生们（包括硕士生和博士生在内）对整体抽象事件几何和微分抽象事件几何的关系，还暂时形不成这样一个高度的认识，常常误解微分抽象事件几何是物理学的时尚的追求。我们在此不得不撰写以上文字，予以及时纠正。
五、 微分事件几何抽象变换群——物理学的大统一变换群
微分事件几何抽象变换群是微分抽象事件几何的核心。
一个事件点模型在一对不同局域参照系的微分事件几何抽象变换群总可以被表述成如下的事件场模型形式：
当我们牢牢记住这个事件点模型是一个事件点矢量场模型，其中的每一个坐标都是一个事件标量场模型的时候，就可以把上式简写为：
这种抽象的事件点模型的事件场模型的表述形式是很重要的，与之相可逆的不同参照系的微分事件几何抽象变换群想必读者已经可以自己完成了。
此外，根据上述事件微分变换群可以得到积分算符变换群和微分算符变换群。这些都是有极其重要的广泛的物理应用的，相信读者可以自己完成。
根据上述不同局域参照系的微分事件几何抽象变换群，当
我们就可以得到人人都是耳熟能详的局域上的伽利略时空微分变换群：
类似地，根据上述不同局域参照系的微分事件几何抽象变换群，当
我们就可以得到相对论的局域时空上的亚光速的洛伦兹时空微分变换群：
同样地，根据上述不同局域参照系的微分事件几何抽象变换群，当
我们就可以得到相对论的局域时空上的超光速的洛伦兹时空微分变换群：
我们之所以追加这些已超出了本节的物理微分几何内容，是为了有助于读者加深对微分事件几何抽象变换群的统一性的感性认识，从这三个具体应用的例子：伽利略事件变换群，洛仑兹亚光速变换群，洛仑兹超光速变换群，举一反三，以便可以顺利地在更加广泛意义上，对微分事件几何抽象变换群的统一性和广泛性产生深刻的理解和认识。毫不夸张地说，抽象事件空间的局域上的微分事件几何抽象变换群可以表述克莱因的81种标准事件几何学和物理学至少的324种物理事件几何学的统一特征。虽然，我们在这里只给出了三个微分事件几何具体的线性变换群这并不意味上述的这个大一统的微分事件几何抽象变换群，就仅仅局限于可以导出“微分事件几何的线性变换群”。需要给读者明确指出的是，这个微分事件几何抽象变换群也能够给出任意多的各种类型的、在物理上具有广泛应用的各种“微分事件几何的非线性变换群”，这里就不举例了。
既是如此，这里的“微分事件几何的线性变换群”还是有局限性的，因为它还不能把所有的“微分事件几何的非线性变换群”都涵盖进来。上述的“微分事件几何的线性变换群”需要做适当的引进仿射联络来扩展，这样就可以把所有已知和未知的各种类型的“微分事件几何的非线性变换群”统统囊括进来。
参阅
拉格朗日力学 哈密顿力学 经典电动力学 相对论力学 洛仑兹变换 狭义相对论
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