初等函数在全球史无前例的伟大扩张(3)——现代科学启蒙主义系列

 

 

 

人类的制造技术的历史是非常久远的。这也不是人类物种所特有的，因为任何一个多细胞动物都有各自最拿手的制造技术。比如，天上飞翔的物种，水里穿游的物 种，地上爬行或者奔走的物种，个个都有极为精湛的筑巢技术。最早的半人半兽，即猿人因为会打制各种石器，甚至掌握了用火技术。但是，它们还不能被称作是人 类，只能属于陆地二维曲面上的走兽类。这是一个极其漫长的历史，大约经历了180-300多 万年的时间。类似于北京猿人能够制造简单工具，打造定居的山洞巢穴，还会用火等等。这些物质技术的发现和发明，丝毫不能改变北京猿人仍旧是兽类，而不是人 类；仍旧是它们，而不是他们。直言之，全球各地所有旧石器早期和中期的猿人，尽管存在相同的时间轴上存在明显的技术高度的差异，它们一概都不能被称作人 类。这表明动物和猿人为了生存发明各种复杂的“技术学”，是自然界的普遍现象，猿人的“技术学”并不代表任何人性，而是真实反映了动物皆有的“生存技术 学”。然而，中外很多古人类学家、考古学家、历史学家、以及其他学科的学者，长期以来都错误地将这种猿人和所有动物共有的“技术学”看作是一种和“人性” 密不可分的一种“物证链”，完全无视猿人的这种“技术学”其实最多只不过是作为动物之一所必不可少的一种基本生存技术而已。令人遗憾的是，他们往往习惯夸 张这种“生存技术学”，甚至把它们错误地夸大为这是“猿人”向“人”进化的一种最重要的证据链之一。

 

真实的情形是，只有女娲或夏娃发明了各自氏族语言的族群，创造出独有的宗教图腾的信仰文化，进入了“渔猎文 明”之后，才能被称作为人类。同样，在整个“渔猎文明”时期，人类所发明的种种“技术学”，相当一部分仍旧是所有动物皆有的“生存技术学”的直接延伸。唯 一显著不同的是各个氏族从各自宗教图腾的信仰文化所发展出的“宗教技术学”独树一帜，这种“宗教技术学”产生出来的各种“宗教物品”，诸如，图腾柱，法 器，法螺，乩盘，傀儡，……，等等。这是所有动物所全然缺无的一种非“生存技术学”的发明，只有人类这个物种所独有。因此，这类“宗教技术学”才是标识人 类特有的“人性”而区分于其它动物的“指示技术学”，即“人”之所以不同于“猿人”的根本所在！直言之，只有信仰“宗教”（即宗教技术学和宗教物品的统称）才是人兽不同的最重要标志，没有宗教信仰就没有人性。 这就是女娲或夏娃所缔造的“渔猎文明”的唯一最重大的、最显赫的特点。因此，我们也可以把“渔猎文明”阶段，称作为“宗教文明”阶段，或者“神圣文明”阶 段。由于“渔猎文明”是用“氏族语言精神符号系统”创造出来的一种伟大文明，故而我们也可以把这种“渔猎文明”阶段称作为“语言文明”阶段。由于任何一种 “氏族语言精神符号系统”都不具有全人类的“普遍性”和“广泛性”，仅仅只有氏族的“特殊性”和“狭隘性”，这就使得一种“氏族语言精神符号系统”所创造 出来的“宗教文明”充满了氏族的个性，成为日后“民族性”的唯一最重要的来源。

 

由于全球各地的这种原生的“渔猎文明”并不是同步的，而是存在先进和后进之分（就如同今天一样，五大洲各国的进化发展水平非常参差不齐，呈现出三大类型：1.最落后的农业文明专制世界观为核心价值观的独裁暴政国家。2.次落后次先进的科学文明大陆法系世界观为核心价值观的民主国家。3.最发达的信息文明真实和虚拟双重英美法系世界观为核心价值观的三权分立的民主国家）。因此，我们说“渔猎文明”距今大约是10-35万年。最早的“渔猎文明”发生于旧石器晚期，全球各地的不同步的人类族群的统一名称是“尼安德特人”。此后，不再将这些原始族群称作“猿人”了。

 

全球人文学科最爱采纳的那种“实物工具断代论”，是我们有意所摒弃的！这是因为“制造技术阶段论”，并不是 人类物种特有的历史现象，而是所有动物的共有的一种历史现象。我们采取的“精神文化断代论”，是各个人类族群特有的历史现象，从来都不是所有动物所共有的 一种历史现象。具有“特殊性”和“狭隘性”的“氏族离散定常口头语言符号体系”的发明，才能打造出这种氏族独有的宗教图腾的信仰文化的“渔猎文明”。具有 “特殊性”和“狭隘性”的“国家离散定常文字符号体系”的发明，才能打造出古代专制国家皇室独裁文化的“农业文明”。类似地，非定常性质的且具有“普遍 性”和“广泛性”的“毕达哥拉斯离散几何代数符号体系”和“欧多克斯连续几何代数符号体系的发明”，才能打造出人类历史上第一个理性民主公民文化的古希腊 “科学文明”。非定常性质的且具有“普遍性”和“广泛性”的“计算机赋值变量的语言文字符号体系”的发明，才能打造出人类历史上第一个数字化的真实和虚拟 双文化的美国“信息文明”。

 

从大清帝国开始，无数的中国人民和中国学者，历来都喜欢极其错误地把“技术学”和“科学”强行地紧紧捆绑在 一起，相提并论。对全球谎称处于农业文明阶段的古代中国，也有所谓的“科学技术学”云云。故意无视“技术学”远在处于野兽阶段的猿人就已经形成的事实。在 整个旧石器早期和中期，不要说什么连“科学文明”都不存在，甚至连“渔猎文明”还都不曾出现！虽然这个漫长的还没有“人的文明”（即对“渔猎文明”、“农 业文明”、“科学文明”、“信息文明”、……、各种“未来文明”的统一称谓）出现，但是，已经有了生存目的的各种“技术学”了。即使是最原始的“科学”， 也决不会出现在任何一个已知的“渔猎文明”的氏族社会形态中，或者任何一个已知的“农业文明”的国家形态中。这些都是已知的世界历史。只有发明了赋值变量 性质的“毕达哥拉斯离散几何代数符号体系”和“欧多克斯连续几何代数符号体系的发明”，才能创造出“科学”。古代埃及，古代巴比伦，古代印度，古代中 国，……，历史上任何一个已知的“农业文明”的国家，统统都没有起码的智力和才能来创造出任何“科学”！这种用赋值变量表述的“科学”，乃是发现“自然规 律”，以及旗下的“人文子规律”，以及范畴更小的“思维子规律”的唯一工具，也是任何一个已知的“农业文明”的国家统统都缺无的伟大工具！亚里士多德把人 类全部的文理学科全都划分在大统一的“科学”的旗下，只有在“科学文明”中才是必然的历史结果。

 

什么是科学基本方法论呢？这是科学文明创造出来的一种几何理性代数思维方法。这是世界各地所有古代农业文明 国家所没有的。这就是用毕达哥拉斯离散几何代数符号体系和欧多克斯连续几何代数符号体系来认识三大不同范畴的自然世界、人类世界、精神世界。古希腊文化如 此光辉璀璨，之所以能够轻而易举地使得同时代全球所有古代文明的历史累积的总和相形见拙，不值一提。就是因为它站在了当时最高的历史台阶上——即“古代科 学文明”的台阶上。比如，亚里士多德的“形式逻辑学”就是对人类“精神世界”中各种形式不同的“思维规律”的高度总结和概括。也是对直接忠实继承古希腊 “农业文明”的普罗泰戈拉的“矛盾逻辑学”的终极毁灭。类似地，欧多克斯缔造的那种肉眼永远都不可观测到的“暗天球”远多于肉眼可观测到的“真实天球”的 “球面天文学”，就是对“自然世界”中七大运动天体（即相对地球距离远近而依次排列的月亮，水星，金星，太阳，火星，木星，土星的统称）各种不同的“运行 规律”的高度量化总结和高度量化概括。

 

“矛盾逻辑学”并非古希腊“农业文明”独有，事实上，这种“矛盾逻辑学”是古代埃及，古代巴比伦，古代印度，古代中国，……，任何一个已知的“农业文明” 国家所独立共有的、且深入人心的一种学问。而这种“矛盾逻辑学”的思想源泉，甚至可以追溯到更加古远的、分布在世界各地的氏族的“渔猎文明”时期。“科学 文明”中的亚里士多德“形式逻辑学”是“无矛盾逻辑学”的同义词，它与“渔猎文明”和“农业文明”的“矛盾逻辑学”尖锐对立，水火不容！看看古印度的“奥 义书”，古中国的“易经”、老子的“道德经”、“黄帝内经”，古希腊赫拉克利特的“论自然”，恩贝多克利的“四元素说”，希波克拉底的“四体液说 ”，……，等等，就能轻而易举地发现全都是在宣扬“渔猎文明”和“农业文明”的“矛盾逻辑学”。“科学文明”之所以能在古希腊生存和高速发展一段时间，得 益于柏拉图为首的无矛盾逻辑学派在雅典成功击溃和击败了普罗泰戈拉为首的、政府力挺的、市民拥戴的、传统顽固的矛盾逻辑学派，并把他们的所有著作公开焚毁 掉！然而，这个胜利是暂时的，当出身名门望族的柏拉图辞世之后，他的得意门生亚里士多德很快就横遭复辟派的疯狂追杀而不得不投海自尽。当“农业文明”的古 罗马的农民大军铲平了古希腊的“科学文明”的时候，以罗马农夫士兵杀死阿基米德为标志，这种全人类历史上第一个“科学文明”之火，就此被彻底熄灭了！在这 个地球上，从古到今，这种“农业文明”和“科学文明”之间的生死较量，在各国从来都未曾停止过。

 

古希腊科学文明所创造出来的这种“几何理性代数思维方法”是最重要的基本科学方法论。而喜帕洽斯将它做了伟 大的扩展，第一个在几何学中引进球面座标经纬度网。他把横座标规定为经度；把纵座标规定为纬度。球面经纬度座标的引进，自然就导致了三角函数的产生。因 此，喜帕洽斯又是发现和缔造三角函数【即椭圆三角函数】的第一人。阿基米德的发现的连续性的“几何指数函数”和喜帕洽斯发现的“几何三角函数”都是“超越 函数”的子函数，它们要比欧多克斯的连续性的“几何代数函数”要艰深很多。由于“超越函数”在当时的机械工程技术上有着极其广泛的应用。因此，古希腊人把 这类“超越函数”喜欢称作为“机械函数”。即使在今天，“超越函数”依旧在理工科和财经科有着最为广泛的应用。

 

喜帕洽斯在科学基本方法论上率先于一个球面上引进（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系，是一个伟大的创举。当然，当我们站在“20世纪现代几何学”的历史高度上严格考察喜帕洽斯的在球面上所建立的这种（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系的时候，发现存在诸多严重的明显错误。

 

对于任何一个有固定半径的确定球面，任何一个经度和纬度网络无法完全覆盖这个确定球面。虽然20-21世 纪的全球各国的地球的地图和夜空的星图，继续忠实地沿袭了喜帕洽斯的在球面上所建立的这种（抛物超越函数经度λ，抛物超越函数纬度φ）座标参照系来标识球 面上的任何一个点的位置。比如，大地测量学，宇宙测量学，天气学（地球天气学，行星天气学），气候学（地球气候学，行星气候学），地球水文学（陆表水文 学，地下水文学【即水文地质学】，海洋学），土壤学，地质学，生态学，植物学，动物学，微生物学，区域经济学（世界经济学，某某国经济学），交通学（陆路 交通学，内陆水上交通学，海洋交通学，航空交通学，星际交通学），……，等等众多自然和人文学科，一概都继承了古希腊人的这种错误做法，科学却并不会因此 而“法不治众”，屈从大多数，顺从和认可这种错误传统的正当性和现实性。

 

“20世纪现代几何学”已经确认对于任何一个有固定半径的这种简单球面，至少引入两个或者两个以上的经度和纬度网络，才能完全覆盖这个确定的球面。可是，“20世 纪现代几何学”上的这个简单的定理，除了职业几何数学家知道之外，无以数计的非职业数学家的中外学者鲜有所知！对于任何一个有固定半径的这种简单球面，假 如像喜帕洽斯一样仅仅使用一个经度和纬度网络去覆盖这个确定的球面，出现的错误就是凭空捏造了两个子虚乌有人造的“奇点”（即北极点和南极点）。

 

黎曼则把这个确定的球面在抛物曲面上的一叶进行“单球极影射”，即把这个球面影射在一个欧几里德平面上。这是各国数学家和科学家长期以来颇为习惯接受的 “黎曼复变函数流形几何学”的流行做法。貌似任何一个有固定半径的这种简单球面都可以和抛物曲面上的一叶，即一个欧几里德平面之间建立一一对应的关系。然 而，这种颇为流行的黎曼做法，导致的一个最简单的错误后果就是，一个原本只有有限表面积的球面，竟然摇身一变，化作为具有无限大表面积的欧几里德平面！这 种“有限表面积=无限大表面积”的几何错误，就是在于人心偏要执着顽固地硬要在一个有固定半径的这种简单球面只建立一个二维座标系。喜帕洽斯的错误做法和黎曼的错误做法，都是因为违背了“20世纪现代几何学”上述定论（即所谓的定理），才会出现上述的严重几何错误！“撒什么种子开什么花”，“龙生龙，凤生凤，老鼠的儿子天生会打洞”。直言之，错误原因必然导致错误结果。

 

“20世纪现代几何学”上的“座标图册定理”已经证实对于任何一个有固定半径的这种简单球面，至少引入两个或者两个以上的经度和纬度网络，才能完全覆盖这个确定的球面。任何只有一个座标系的“凯雷-克莱因系统几何学”必须要在一个半曲面（即单叶曲面）上展开。例如，“黎曼几何学”必须在一个单叶的半球面上才能展开，决不能在等双叶性质的整个球面上展开。类似地，“欧几里德几何学”必须在一个单叶的半球-半抛物平面上才能展开，决不能在等双叶性质的整个半球-半抛物双平面上展开。同样，“罗巴切夫斯基几何学”必须在一个单叶的半球-半双曲面上才能展开，决不能在整个等双叶半球面-半双曲面上展开。而“伴欧几里德几何学”必须在一个单叶的对偶半抛物-半球面上才能展开，决不能在对偶等双叶性质的整个半抛物-半球面上展开。……，诸如此类，“闵科夫斯基几何学”必须在一个单叶的半双曲-半抛物面上才能展开，决不能在整个等双叶半双曲-半抛物面上展开。务必要永远牢记几何座标图册定理：任何只有一个座标系的“凯雷-克莱因系统几何学”，只能在一个单叶曲面上展开。

 

喜帕洽斯本人并不清楚他所引进的这种（经度，纬度）座标网格，即经纬度座标参照系的座标（λ，φ）本身的含义其实是一种超越函数，是所谓的（超越抛物正弦函数经度，超越抛物正弦函数纬度）构成的二维球面座标系。到了17世纪的欧洲，笛卡尔、费马等人重新发现了这种类似的、更加简单的（抛物超越函数，抛物超越函数）所构成的二维抛物平面直角座标系（x，y）。描述这种固定抽象的变量性质的静态图形的几何学的座标为啥要选择这种（抛物超越函数，抛物超越函数）呢？任何一个不懂“凯雷-克莱因系统几何学”的人，都会错误地认为笛卡尔二维抛物平面直角座标系的（横座标，纵座标），即（x，y）中的变量不是这种（抛物超越函数，抛物超越函数），而是普通的代数函数；他们也不懂得像“桌面”这类平面，其实统统都是“双叶二维抛物平行面”中的一叶而已。实际上，笛卡尔二维抛物平面直角座标（x，y）的完整写法为（singx，singy），是地地道道、名副其实的（抛物超越函数，抛物超越函数），决不是什么普通的代数函数。为啥要选择（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（singx，singy）来充当笛卡尔二维抛物平面直角座标的座标，而不是选择（超越抛物余弦函数，超越抛物余弦函数）（cosgx，cosgy）作为其座标呢？都有极其深刻的几何学理由的。

 

我们知道中外大学和中学的数学教材中，常常把（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（x，y）表述为：

 

x=rcosθ

y=rsinθ

 

即（x，y）=（rcosθ，rsinθ）

 

常常把（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）（x，y，z）表述为：

 

x=rcosα

y=rcosβ

z=rcosγ

 

即（x，y，z）=（rcosα，rcosβ，rcosγ）

 

 

我们不得不指出这是一种不正确的、无法体现抛物座标系空间几何属性的一种座标表示方法。而且也无法被推广到四维抛物空间和高于四维抛物空间的座标表示法。必须要清楚地知道“二维欧几里德平面正交座标系”中的座标（x，y）和“三维欧几里德空间正交座标系”中的座标（x，y，z） 的正确几何名称是（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）和（超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数，超越抛物正弦函数）。直言之，“二维欧几里德平面”几 何名称是“单叶抛物平面”或“半抛物平面”；“三维欧几里德空间”几何名称是“单叶抛物平直空间”或“半抛物平直空间”。只有透彻地懂得“二维欧几里德平 面”和“三维欧几里德空间”二者的确切的几何名称，才能初步认识和理解“二维欧几里德平面正交座标”（x，y）和“三维欧几里德空间正交座标”座标（x，y，z）为啥都不是普通的一次线性的代数函数，而是超越抛物正弦函数性质的（singx，singy）和（singx，singy，singz）。

 

在黎曼复变函数几何学中，数学家把“z=x+iy”这种表达式，称作为复变矢量的“代数式”；而把“z=r（cosθ+isinθ）”称作为复变矢量的“三角式”；而把“z=rexp（iθ）”称作为复变矢量的“指数式”。这是最为典型的“望文生义”的、不理解几何含义的、掩盖无知的、纯粹形式化的名称。

 

（x，y）=（singx，singy）和（x，y，z）=（singx，singy，singz）的这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法，只能适用于长度为抛物测度的几何学。换言之，只能适用于以下的几种几何学：欧几里德几何学，伽利略几何学，对偶伽利略几何学，闵科夫斯基几何学。也就是说，诸如（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法，决不能被任意推广到任何一种非抛物长度测度的几何学中。直言之，绝大部分的静态几何学中的图形，统统都能不能选用（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种超越抛物正弦函数性质的座标表示法来定量绘制。

 

在所有种类的椭圆长度测度的几何学中，都是诸如（sinx，siny），（singx，singy，singz），……，（sinx，siny，sinz，…，）这种超越椭圆正弦函数性质的座标。比如，黎曼几何学，对偶黎曼几何学，对偶欧几里德几何学，对偶罗巴切夫斯基几何学等等。

 

类似地，在所有种类的双曲长度测度的几何学中，都是诸如（sinhx，sinhy），（sinhx，sinhy，sinhz），……，（sinhx，sinhy，sinhz，…，）这种超越双曲正弦函数性质的座标。比如，罗巴切夫斯基几何学，对偶闵科夫斯基几何学，二重双曲几何学，对偶二重双曲几何学等等。

 

总结上述可知，在“凯雷-克莱因系统几何学”中，任何一种定量描述静态几何形的函数座标系，绝没有任何一个是“代数函数有序组构成的座标系”；统统都是清一色的“超越函数有序组构成的座标系”！即诸如（sinkx，sinky），（sinkx，sinky，sinkz），……，（sinkx，sinky，sinkz，…，）这种“克莱因超越正弦函数”性质的座标。显而易见，这些大统一的“凯雷-克莱因系统几何学”中才会有常识，乃是极少数从事经典大统一几何学研究的职业数学家才能懂得的一种常识。除此而外的所有学者和人民，对于这一类几何常识则是闻所未闻的天方夜谭哦。

 

我们当然深知，中外大学和中学的数学教材中，所传授的“静态几何学”知识，全是诸如（x，y），（x，y，z），……，（x，y，z，…，）这种清一色的“超越抛物正弦函数有序组所构成的座标”。害得一代代的理工类和财经类的师生，都错误地认为这貌似就是所有几何学都需要采用的“普遍的座标表达形式”，而压根不知道它们其实是非常特殊的一类座标表达形式而已。

 

我们不是成功地推广了“初等三角函数”吗？正是这种最伟大的推广，才能使得我们认清楚“克莱因超越三角函数”（克莱因超越正弦函数sinkx，克莱因超越余弦函数coskx，……。）不过是一种以定常超越数，即自然底数e=2.718281828…，的一类三角函数而已。相对标准形式的以e为自然底数的“克莱因超越三角函数”[克莱因超越正弦函数SinKe(x)=sinkx，克莱因超越余弦函数CosKe(x)=coskx，……。]，“无穷多种的非克莱因超越三角函数”，即“任意超越三角函数”的标准表达式，则为以不等于1的任意实数a为底的“任意超越正弦函数SinKa(x)”，“任意超越余弦函数CosKa(x)”，……。

 

当我们把前人的自然底数e的“自然三角函数”推广为以不等于1的任意实数a为底的“任意三角函数”，就意味着我们能够把前人的局域大统一的一种“凯雷-克 莱因系统几何学”，推广为全域大统一的无穷多种的“任意系统几何学”。这就意味着我们能够把自然界中任意一个无穷类的静态几何形，都能彻底定性定量描述 了！当然我们还能把这种“任意静态系统几何学”刷新提升等级，给出更加艰深无比的“任意动态系统几何学”，即所谓的“任意流形系统几何学”。自然界中几何 形和几何学是无限复杂的，绝大部分都不是那种以自然底数e的“自然三角函数座标”所描述的“自然静态几何形”和“自然三角泛函座标”所描述的“自然动态几何形”，而是无穷类的以不等于1的任意实数a为 底的“任意三角函数座标”所描述的“任意静态几何形”和“任意三角泛函座标”所描述的“任意动态几何形”。换言之，我们已经为科学文明和信息文明无数未来 的数学家和科学家，提前锻造好了最强大无比的“任意静态系统几何学”和“任意流形系统几何学”。而这种伟大的推广，却在全球几何学历史上是前所未有的！

 

 

初等函数前所未有的扩张(1)——现代科学启蒙主义系列

初等函数前所未有的扩张(2)——现代科学启蒙主义系列

初等函数前所未有的扩张(4)——“克莱因统一任意复数系”的创生

初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数上”
初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数下”

  

    本文章中涉及到的极为重要的“36种特殊的自然底数e 的三角函数”和“36种普遍的任意底数 a 的三角函数”请点击以下的链接：

       Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2 ]

      Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[1]

      重新增补被新浪脑残删除的 Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2]

初等函数在全球史无前例的伟大扩张(2)——现代科学启蒙主义系列

    实数的扩张，也就是初等函数的扩张。因为实数是函数的基础，假如基础扩大了，那么建筑其上所有高等级的一系列的不同代数模型的数系，都会自动地顺次被一概 扩大。其实，这仅仅是常见的代数模型各个数系的一个方面。实际上各个真实的不同代数模型的数系的扩大历史，很复杂、很曲折。这是因为假如位于中间某个等级 的一个代数数系发生了扩大，它不仅可以影响所有比它等级低的代数模型的数系，使之发生被扩张；而且也能影响所有比它等级高的代数模型的数系，也使之发生被 扩张。

    我们知道数从低到高的等级序列：

第零级数：实常数，也称作实连续数，连续量。这是算术学和常量几何学所研究的。
    第一级数：实代数，也称作实变量，实连续变量。这是代数学和变量几何学研究的。
    第二级数：实变函数，也称作实函，实连续函数。这是函数学和静态几何学研究的。
    第三级数：实泛函数，也称作实泛函，实连续泛函数。这是泛函学和动态几何学研究的。

康托在19世纪仔细定义了“实数”这个名词（当 然同时代还有很多其他最伟大的数学家，诸如，柯西，戴金德，魏尔斯特拉斯等等），而古希腊“犹如上帝一样神明”的、最伟大的数学和科学天才欧多克斯将它称 作连续“量”，从而有别于毕达哥拉斯所发现和创造出来的那种可言、可数、可念、可写、可列、可见、可辨、离散的、稀疏的、有理“数”。在欧多克斯以前，毕 达哥拉斯和他的弟子都没有能力处理和理解这种“连续几何”上的连续“量”，他们感到无能为力，并把这种“量”称作为“无理数”。围绕这种几何上的长度、或 者面积、或者体积上的“连续数”的“无限可分性”，芝诺给出了比毕达哥拉斯学派“根号2”（包括各种复杂的“常幂数”在内，19世纪数学家一律将它们称为 “代数数”）更复杂的四个悖论：“起点无法抵达终点的二分法悖论”，“阿基里斯追不上乌龟的悖论”，“飞矢不动的悖论”，“操场跑道两列队伍相对运动悖 论”。当然，“圆周率π”，“阿基米德螺线”，“喜帕洽斯三角代数”，……，这类“机械数”（19世纪称它们为“超越数”），都被伟大的欧多克斯统一地称 作为几何上的那种不可言、不可数、不可念、不可写、不可列、不可见、不可辨、连续的、稠密的、但又是可心领神会的、又可用几何长度、面积、体积最终测量而 得的一种“量”。

“常实数集合”的第一等级分类是很清楚的，它首先分为“常幂数集合”（即“常数集合”的别称）和“常超越数集合”。

在第二等级分类中，“常幂数集合”被分为"常有理数集合"和"常无理数集合"。“常超越数集合"则被分为“常机械数集合”和“常三角数集合”。

在第三等级分类中，"常有理数集合"被分为“常整数集合”和“常分数集合”。“常机械数集合”被分为“常指数集合”和“常对数集合”；而“常三角数集合”被分为“常正三角数集合”和“常反三角数集合”。

类似地，在“实代数集合”的第一等级分类中，可分为“幂代数集合”和“超越代数集合"。

在第二等级分类中，“幂代数集合”被分为"有理式代数集合"和"无理式代数集合"。“超越代数集合"则被分为“机械代数集合”和“三角代数集合”。

在第三等级分类中，"有理式代数集合"被分为“整式代数集合”和“分式代数集合”。“机械代数集合”被分为“指数代数集合”和“对数代数集合”；而“三角代数集合”被分为“正三角代数集合”和“反三角代数集合”。

类似地，在“实函数集合”的第一等级分类中，分为“幂函数集合”和“超越函数集合"。

在第二等级分类中，“幂函数集合”被分为"有理函数集合"和"无理函数集合"。“超越函数集合"则被分为“机械函数集合”和“三角函数集合”。

在第三等级分类中，"有理函数集合"被分为“整式函数集合”和“分式函数集合”。“机械函数集合”被分为“指数函数集合”和“对数函数集合”；而“三角函数集合”被分为“正三角函数集合”和“反三角函数集合”。

只有，“实常数集合”-“实代数集合”-“实函数集合”这三个等级的数集因为具有相似性，所以，才有以上相似的分类体系。至于等级最高的、研究流形的“实泛函集合”的分类系统，则不能再继续延续以上那种分类形式了。

“实 泛函集合”和前三种“数集合”存在的这种重大的不同性状，是因为“流形”和“静形”存在重大区别，我们曾经例举过了。为了加深印象，我们重新例举一次。我 们以一维连续统的静态几何形之一的大写拉丁字母为例；C，I，J，L，M，N，S，U，V，W，Z。在“静态几何学”（即常量几何学，代数几何学，函数几 何学）中，一维连续统的静态几何形：C，I，J，L，M，N，S，U，V，W，Z个个不雷同，决不能混为一谈。可是，在“动态几何学”（即橡皮几何学，拓 扑几何学，流形几何学，微分几何学，泛函几何学）中，一维连续统的静态几何形：C，I，J，L，M，N，S，U，V，W，Z个个相同，毫无任何差别，它们 均属于同一个性质的几何形——即“拓扑几何形”，也称作“同胚几何形”，同时，不但是“同调几何形”，而且也是“同伦几何形”。要知道哦，这种“动态几何学”要比那种“静态几何学”艰深、复杂、庞大、抽象千万倍！

用 我们非常有限的知库仰视全人类现有的全部几何知库，可以发现数学家对“动态几何学”的分类至今尚无达成统一的共识，也没有形成统一的多层次的分类系统。他 们已经达成全球共识的看法是，依据欧拉示性数和贝蒂数来划分不同的流形种类——这是一种“组合拓扑几何学”的观点。而“点集拓扑几何学”的“连通空间分类 系统”则为：连通空间·局部连通空间·道路连通空间·单连通·N-连通·不可约空间。根据“分离公理”所确定的空间分类系统为：柯尔莫果洛夫空间·T1空 间·豪斯多夫空间·正则空间·吉洪诺夫空间·正规空间。不过，我们认同法国数学界对“动态几何学”的的分类等级系统：第一等级为“同胚几何学”；第二等级 为“同调几何学”；第三等级为“同伦几何学”。

我们对数学界的“动态几何学”的分类，一直保持长期的高度关注。作为“科学动态几何学”，或“经济动态几何学”而言，我们把“物理动态几何学”按照物理测量上的连续变换群论，将它第一等级的划分系统分为两大类：

0.物理惯性静态几何学（即平衡态物理学，静态物理学，结构物理学）

1.物理惯性动态几何学（即动态平衡物理学，线性动态物理学）

2.物理非惯性动态几何学（即非平衡动态物理学，非线性动态物理学）

其中，我们并没有把极为重要的“物理惯性静态几何学”纳入到“物理动态几何学”中。

把我们所给出的“物理几何学分类系统”去对比 “数学几何学分类系统”，不难发现，二者分歧很大，分类依据也非常不相同。对于“物理静态物理学”和“物理动态几何学”的分类，我们立足是数学家给出的那 种成熟，但尚未完善的“数学统一几何学”——“射影几何学”。这不仅是史无前例，与众不同的，而且也是独一无二的。

1.凯雷-克莱因的函数射影几何学系统——对应着物理静态物理学的分类系统

2.凯雷-克莱因的泛函射影几何学系统——对应着物理动态几何学的分类系统

虽然数学上的“静态几何学”不但有无数种；而且数学上的“动态几何学”也有无数种。但是我们却在这种无穷多种的几何学无边无际的数学几何学大海中，深邃洞察，精心遴选，“无数中挑一”——终于敲定了这两大几何学系统：

1.凯雷-克莱因的函数射影几何学系统

2.凯雷-克莱因的泛函射影几何学系统

作为“物理几何学的系统”。这就是科学上的“弱 水三千，只取一瓢饮”。也许这未必就是科学上的独具慧眼，独具匠心之为。虽然数学上的“静态几何学”和“动态几何学”都有无数种，可是，我们着眼的是自然 界它选中了哪些种类的几何学。而不是随波逐流，成为中外那种最为流行、最为时髦的弦论和膜论的盲目跟风者和盲目响应者。至于爱因斯坦所倡导的那种违犯自然 界的“经典统一场论”，以及后来提出来的、那种更为极端的、反自然的、试图统一四种力的跟随者的“万有统一场论”，我们更是冷眼鄙视！数学上的统一几何学 ——“射影几何学”（即对“静态射影几何学”和“动态射影几何学”的统称）为何碰巧可以统一现有全部种类的物理几何学呢？这种碰巧，决不是人为的统一，而 是大自然的一种机缘巧合！历史上的“经典统一场论”，“万有统一场论”，以及“弦论”和“膜论”等等，它们毫无例外全都是人心、人为捏造出来的一种虚假不 实的物理几何学，是人心硬要强加给自然界的一种荒诞不经的几何学——最终结果呢？人人皆知，每一种这种苦心意旨硬塞给自然的几何学，到头来全被大自然彻底 地否定掉了！正应了“苦恨年年压金线”，“竹篮打水一场空”。虽然海内外无数的科学家和极少部分的数学家，在刚刚过去的一个世纪以来，付出了无数的苦劳， 到头全都是南柯一梦！

下面我们先给出两种最为常见的常指数和常对数的初等函数的示例性质的分类系统

    任意指数和任意对数的初等函数的分类系统

“36种初等克莱因统一自然三角函数分类系统”和“36种初等克莱因统一任意三角函数分类系统”，由于它们的篇幅巨大，所以，在此一概省略为荷。

   

下面所作出的分类，全都是不能简单类推的：     类似地，在“实泛函集合”的第一等级分类中，分为“幂泛函集合”和“超越泛函集合"。     在第二等级分类中，“幂泛函集合”被分为"有理泛函集合"和"无理泛函集合"。“超越泛函集合"则被分为“机械泛函集合”和“三角泛函集合”。     在第三等级分类中，"有理泛函集合"被分为“整式泛函集合”和“分式泛函数集合”。“机械泛函集合”被分为“指数泛函集合”和“对数泛函集合”；而“三角泛函集合”被分为“正三角泛函集合”和“反三角泛函集合”。      想进一步了结 我们所做出的超越历史、超越当今时代、领先全球所有国家的伟大数学发现和伟大数学创造！请点击如下的链接：  初等函数前所未有的扩张(1)——现代科学启蒙主义系列    初等函数前所未有的扩张(3)——现代科学启蒙主义系列  初等函数前所未有的扩张(4)——“克莱因统一任意复数系”的创生   初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数上” 初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数下”     本文章中涉及到的极为重要的“36种特殊的自然底数e 的三角函数”和“36种普遍的任意底数a 的三角函数”请点击以下的链接： Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2] Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[1]

 

初等函数在全球史无前例的伟大扩张(1)——现代科学启蒙主义系列

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从特殊到普遍的飞跃——超越当今时代的伟大数学发现和伟大数学创造

初等函数通常是对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的一种统称。可是，指数法则和对数法则是一对正逆算子，即exp(ln)=1。于是，幂函数方程式就能表达为一种指数函数方程式。

比如，幂函数方程式：

y=a·x^n + b·x^(n-1) + … + p·x^2 + q·x + r

就可表示为指数函数方程式：

y=a·exp(n·lnx)+b·exp((n-1)·lnx)+…+p·exp(2·lnx)+q·exp(lnx)+r

式中，要么n>1；要么n<1。

这就是意味着，幂函数其实是指数函数的一种特例而已。

指数函数一般被划分为两大大类；

1.任意指数函数：y=a^x

2.定常指数函数：比如，自然指数函数：y=e^x，常用指数函数：y=10^x，2指数函数：y=2^x。

2指数函数：y=2^x的最早应用，就是声学中的“乐音学”的12平均律。即y =2^(x/12)，其中，x ∈Z。Z 为整数集合。其后，就是马赫所创立的实验心理学的“感觉的分析”，人对声响的心理感受程度的定量表达。第三就是从第二发展而来的声学中的“噪音学”的声强等级的分贝定量表达。第四，就是香农创立的信息学也是用该方程式来度量。

学 生们在中学和大学各种教材中所遇到的那种常见的初等“三角函数”和“反三角函数”，都是属于一种“自然三角函数”和“自然反三角函数”，它们被广泛应用于 自然科学诸多分支学科之中。然而，数学家却始终没有能够发展出一种适合数学自身属性的一种“任意三角函数”和“任意反三角函数”。

相比之下，对于指数函数和对数函数而言，数学家早就发展出了任意指数函数y=a^X和任意对数函数y=logax。

我们以大家耳熟能详的椭圆三角函数之一的正弦函数y=sin(x)为例。这是一种基数等于自然常数e=2.718281828…的一种椭圆正弦函数。因此，我们将这种椭圆正弦函数称呼为“自然椭圆正弦函数”，这是因为它是以自然常数e为基数的一种椭圆正弦函数。即它是凯雷-克莱因几何学中的黎曼几何学，欧几里德几何学，罗巴切夫斯基几何学中的三角正弦函数。

对于，声学中的乐音学和噪音学，心理学中的实验心理学，计算机学中的信息学，我们可以选中2当下标，来作为以上这些学科中三角正弦函数的基数，并表示为：y=SiN2(x)。

声学、实验心理学，信息学中2为基数的三角正弦函数的无穷展开式：

SiN2(x)=x·ln2-(x·ln2)^3/3!+(x·ln2)^5/5!-(x·ln2)^7/7!+…

声学、实验心理学，信息学将因此增加新的篇章。

振幅不变，任意三角正弦函数SiNa(x)值的增大或者减小(a≠1，且a∈R。R为实数集)。

………………………………………………………………………………………

SiN0.12(x)=x·ln0.12-(x·ln0.12)^3/3!+(x·ln0.12)^5/5!-(x·ln0.12)^7/7!+…

SiNγ(x)=x·lnγ-(x·lnγ)^3/3!+(x·lnγ)^5/5!-(x·lnγ)^7/7!+…(欧拉常数γ=0.577…)

SiN0.794(x)=x·ln0.794-(x·ln0.794)^3/3!+(x·ln0.794)^5/5!-(x·ln0.794)^7/7!+…

………………………………………………………………………………………

SiN2(x)=x·ln2-(x·ln2)^3/3!+(x·ln2)^5/5!-(x·ln2)^7/7!+…

SiN2.23(x)=x·ln2.23-(x·ln2.23)^3/3!+(x·ln2.23)^5/5!-(x·ln2.23)^7/7!+…

SiNe(x)=Sin(x)=x·lne-(x·lne)^3/3!+(x·lne)^5/5!-(x·lne)^7/7!+…

SiN3(x)=x·ln3-(x·ln3)^3/3!+(x·ln3)^5/5!-(x·ln3)^7/7!+…

SiNπ(x)=x·lnπ-(x·lnπ)^3/3!+(x·lnπ)^5/5!-(x·lnπ)^7/7!+…(圆周率π=3.1415926…)

SiN251(x)=x·ln251-(x·ln251)^3/3!+(x·ln251)^5/5!-(x·ln251)^7/7!+…

………………………………………………………………………………………

由此可知，中外人人耳熟能详的这种“特殊的”自然三角正弦函数SiNe(x)=Sin(x)，其实不过是那种超越当今时代、领先全球“普遍的”无限多种的任意三角正弦函数SiNa(x)的一个特例而已！

对于任意三角正弦函数SiNa(x)，其中，a≠1，且a∈R。从以上的例举可知，它必须要被分做两大类：

1.a＜1，且a∈R的任意三角正弦函数SiNa(x)。

2.a＞1，且a∈R的任意三角正弦函数SiNa(x)。

这 就是我们对三角正弦函数所作出的举世无双的、前所未有的、无穷多种类型扩张的实际例子。从而，意味着我们也把整个初等函数系统做出了举世无双的、前所未有 的扩张。同时也意味着，现有的黎曼几何学，欧几里德几何学，罗巴切夫斯基几何学，伽利略几何学，闵科夫斯基几何学，……。它们都是黎曼自然几何学，欧几里 德自然几何学，罗巴切夫斯基自然几何学，伽利略自然几何学，闵科夫斯基自然几何学，……。如今它们从原先只有一种的几何学，个个都演变为具有无限多种不同 的任意几何学了。即无限多种不同的黎曼任意几何学，无限多种不同的欧几里德任意几何学，无限多种不同的罗巴切夫斯基任意几何学，无限多种不同的伽利略任意 几何学，无限多种不同的闵科夫斯基任意几何学，……。这就是我们所做出的超越历史、超越当今时代、领先全球所有国家的伟大数学发现和伟大数学创造！

黎曼自然几何学，欧几里德自然几何学，罗巴切夫斯基自然几何学，伽利略自然几何学，闵科夫斯基自然几何学，……。

无限多种不同的黎曼任意几何学，无限多种不同的欧几里德任意几何学，无限多种不同的罗巴切夫斯基任意几何学，无限多种不同的伽利略任意几何学，无限多种不同的闵科夫斯基任意几何学，……。

然而，有些时候，声学中的乐音学和噪音学，心理学中的实验心理学，有时会选中10当下标，来作为以上这些学科中三角正弦函数的基数，对此可表示为：y=SiN10(x)。

当然，是大自然选中了自然常数e，将它作为三角正弦函数y=sin(x)的基数。可是，作为数学而言，我们可以任意选中任何一个数a当下标，来作为三角正弦函数的基数，并表示为y=SiNa(x)。这样我们就得到了非常重要的“任意三角椭圆正弦函数”，可以简称为“任意三角正弦函数”。

于是，诸如“自然三角椭圆正弦函数”：y=SiNe(x)=sin(x)，2三角椭圆正弦函数：y=SiN2(x)，常用三角椭圆正弦函数：y=SiN10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角椭圆正弦函数，统统都是“任意三角椭圆正弦函数”y=SiNa(x)的个案或者特例。

类似地，诸如“自然三角抛物正弦函数”：y=SinGe(x)=sing(x)，2三角抛物正弦函数：y=SinG2(x)，常用三角抛物正弦函数：y=SinG10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角抛物正弦函数，统统都是“任意三角抛物正弦函数”y=SinGa(x)的个案或者特例。

类似地，诸如“自然三角双曲正弦函数”：y=SinHe(x)=sinh(x)，2三角双曲正弦函数：y=SinH2(x)，常用三角双曲正弦函数：y=SinH10(x)，……，等无穷多种的定常基数的三角双曲正弦函数，统统都是“任意三角双曲正弦函数”y=SinHa(x)的个案或者特例。

凯雷-克莱因几何学系统中“大统一的自然三角正弦函数”：y=Sinke(x)=sink(x)，大统一的2三角正弦函数：y=Sink2(x)，大统一的常用三角正弦函数：y=Sink10(x)，……，等无穷多种的定常基数的大统一的三角正弦函数，统统都是“大统一的任意三角正弦函数”y=Sinka(x)的个案或者特例。

由此可见，我们成功地扩张了原先的“自然三角正弦函数”：y=Sine(x)=sin(x)。类似地，对于其它所有类型的三角函数：椭圆类三角函数和反三角函数，抛物类三角函数和反三角函数，双曲类三角函数和反三角函数，都能做类似的成功扩张，让数学家不仅第一次清楚地认识到了凯雷-克莱因几何学系统中的椭圆，抛物，双曲三大类自然三角函数，都是一种以自然常数e为基数的一种函数，而且还使得数学家第一次清楚地认识到了椭圆，抛物，双曲三大类任意三角函数，都是一种以不等于从而，我们史无前例地把将先辈相对数学意义狭隘的“自然三角函数论”，刷新、升级为等级更高、涵盖更广的“任意三角函数论”了。继而，为当前人类数学这部宏伟巨著，增添了颇有价值的新篇章，给出了最一般的“36种任意三角函数”，它势必推动现有数学中诸多的分支学科，统统都将增加更宽泛的、更一般的新内容。

在这里，我们又做了一次重复历史的典型示范：即在数学和科学上的任何一种创新，它必须是一种立足于前辈坚实基础上的一种创新。

研 究自然科学，往往都是这么一不小心，在不经意中，非目的性地就为数学增添了新的贡献，这在数学和科学史上，屡见不鲜。这种对初等函数的刷新，虽然难度最 大。但是，它却能对数学诸多分支学科的影响极广。想要知道从原先那种极为特殊的“自然三角函数”扩张到这种极为普遍的“任意三角函数”的难度究竟有多么巨 大呢？从公元前2世纪古希腊喜帕恰斯研究这种“自然三角函数”到今天21世纪的“任意三角函数”，前后经历了大约2200年的漫长时间，没有一个数学家能 够完成这种从“特殊三角函数”到“普遍三角函数”的扩张！而数学本身则恰恰是一门专门研究“普遍模型”恢弘无比的伟大学科。

对科学和数学而言，任何一种对于等级最低的常识的刷新难度，历来都远远大于对高段的专业知识的刷新难度。比如，像时空观（即世界观或宇宙观）这种大众常识，当17世纪的牛顿时空观刷新了亚里士多德时空观，当时对欧洲人心的震撼有多么得巨大无比哦！同样，到了20世纪，当爱因斯坦相对论时空观刷新了牛顿的时空观，一下子使得全世界那些有大学理工类教养的人，心灵的震撼之大，之强，人人熟知哦！

这篇短文，其实可以刊登任何一个档次上的国内外著名的数学期刊，我们决定还是将它分享给本群网友。世俗的荣耀和名声，不过尔尔。

克莱因在19世纪后叶所开辟的这种大统一的、划时代的“凯雷-克莱因几何学系统”的所有几何连续变换群，牵涉到的都是相对最简单的那类“单线性的绝对连续射影变换群”，即使到了21世纪的今天，也同样如此。从来都不曾涉及到我们所谓的这种相对更为复杂的“多重线性的绝对连续射影变换群”。何况“单线性的绝对连续射影变换群”只有一大类；而“多重线性的绝对连续射影变换群”却有无穷多大类！20世纪美国最著名的数学史家莫里斯·克莱因说“希尔伯特在19世纪末终结了各国数学家研究几何绝对不变量的热情和浪潮”，只有数学历史事实上的真实性，却没有数学几何学理论上的任何真实性！菲力科斯·克莱因在19世 纪后叶所提出的以绝对不变的、单线性的“绝对连续变换群”划分不同几何学的惊世骇俗的“爱尓朗根纲领”（他当时在德国的爱尓朗根大学执教），很自然地强有 力地吸引了欧美几乎所有的数学家最热情、最热烈的积极响应，从而才掀起了这股势不可挡、形若滚滚洪流的“几何绝对不变量”的研究浪潮！而19世纪后叶全球所有的科学家，就像自动知趣地退出和放弃了对科学的话语权的18世纪的哲学家一样，他们并没有侧身到“几何绝对不变量”的研究浪潮中，而是甘心当一位几何学的外行的旁观者来围观。

外行看热闹的19世纪后叶科学家的不良历史行为，具有极其旺盛的“社会达尔文主义的遗传性”，使得20世纪的科学家依旧在错误地继承这种外行看热闹的心得体会。比如，荣膺物理学诺贝尔奖的库珀和英国知名度颇高的大数学家为主和大物理学家彭罗斯，都在他们各自的出版的著作里重复早就被克莱因在19始末就已经淘汰和埋葬的黎曼的错误的陈词滥调：即几何学只有三种：

1.三角形内角和大于180°的黎曼几何学

2.三角形内角和等于180°的欧几里德几何学

3.三角形内角和小于180°的罗巴切夫斯基几何学

孤陋寡闻还自以为是地、十二分愚蠢地竟然不懂得在克莱因所所开辟的这种大统一的、划时代的“凯雷-克莱因几何学系统”，假如仅以其中的“凯雷-克莱因二维几何学系统”（姑且不论“凯雷-克莱因三维几何学系统”，“凯雷-克莱因四维几何学系统”，……，“凯雷-克莱因N维几何学系统”，……，等等）为例，

1.三角形内角和大于180°的几何学至少有三种

2.三角形内角和等于180°的几何学至少有三种

3.三角形内角和小于180°的几何学至少有三种

而我们如今在全球第一个破天荒地又把前辈那种自然底数的36种“克莱因三角函数”（即“克莱因自然三角函数”）基础上，创造性地将它拓广为任意不等于1为底数的无穷多种“克莱因任意三角函数”。这就这就意味着，仅以其中的“凯雷-克莱因二维任意几何学系统”为例的话，

1.三角形内角和大于180°的任意几何学至少有无穷多种

2.三角形内角和等于180°的任意几何学至少有无穷多种

3.三角形内角和小于180°的任意几何学至少有无穷多种

可以当仁不让地说，在20-21世纪的今天的人类已有的几何世界中，全球决没有任何一位数学家和科学家能够比我们站得更高。这是因为我们第一个所发现和创造的这种任意不等于1为底数的无穷多种“克莱因任意三角函数”所直接缔造出来的、前所未有的这种大千几何世界，不仅其版图最广，而且其山峰也最高！

初等函数前所未有的扩张(2)——现代科学启蒙主义系列

初等函数前所未有的扩张(3)——现代科学启蒙主义系列

初等函数前所未有的扩张(4)——“克莱因统一任意复数系”的创生

初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数上”

初等函数前所未有的扩张(5)——“克莱因统一自然复数系”中的“克莱因统一的自然底数的全纯函数下”

本文章中涉及到的极为重要的“36种特殊的自然底数e 的三角函数”和“36种普遍的任意底数a 的三角函数”请点击以下的链接：

Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2]

Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[1]

重新增补被新浪脑残删除的 Newton-Einstein经典统一力学纲要（线性部分）[2]